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Das Trigondodekaeder (auch Pyramidentetraeder) ist ein Polyeder mit zwölf kongruenten gleichseitigen Dreiecken als Flächen, 8 Ecken und 18 Kanten. An vier der Ecken grenzen fünf Kanten und an die anderen vier Ecken grenzen vier Kanten an.

Es ist ein Deltaeder und der Johnson-Körper J84 von 92, die alle nach dem Mathematiker Norman Johnson benannt sind.

• Kartesische Koordinaten

• Formeln

• Siehe auch

• Weblinks

Die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte können lauten, bei Mittelpunkt im Ursprung und Kantenlänge 2:

( 0 , ± ± 1 , p ) ( ± ± r , 0 , q ) ( 0 , ± ± r , − − q ) ( ± ± 1 , 0 , − − p ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&(&0,&&\;\pm 1,&&\;p&)\\&(&\pm r,&&\;0,&&\;q&)\\&(&0,&&\;\pm r,&&\;-q&)\\&(&\pm 1,&&\;0,&&\;-p&)\end{alignedat}}}

Nach dem Satz von Pythagoras gilt:

r 2 + ( p − − q ) 2 = 3 {\displaystyle r^{2}+(p-q)^{2}=3}

( r − − 1 ) 2 + ( p + q ) 2 = 4 {\displaystyle (r-1)^{2}+(p+q)^{2}=4}

r 2 + 2 q 2 = 2 {\displaystyle r^{2}+2q^{2}=2}

Daraus folgt:

p = 1 2 ( 3 + 2 r − − r 2 + 3 − − r 2 ) ≈ ≈ 1 , 57 {\displaystyle p={\frac {1}{2}}({\sqrt {3+2r-r^{2}}}+{\sqrt {3-r^{2}}})\approx 1{,}57}

q = 1 2 ( 3 + 2 r − − r 2 − − 3 − − r 2 ) = 2 − − r 2 2 {\displaystyle q={\frac {1}{2}}({\sqrt {3+2r-r^{2}}}-{\sqrt {3-r^{2}}})={\sqrt {\frac {2-r^{2}}{2}}}}

q = x ≈ ≈ 0,411 123 {\displaystyle q={\sqrt {x}}\approx 0{,}411123} als eine von drei Lösungen der Gleichung 2 x 3 + 11 x 2 + 4 x − − 1 = 0 {\displaystyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1=0} .

r ≈ ≈ 1,289 169 {\displaystyle r\approx 1{,}289169} als eine von drei Lösungen der Gleichung r 3 − − 3 r 2 − − 4 r + 8 = 0 {\displaystyle r^{3}-3r^{2}-4r+8=0} .

Aus den Koordinaten ergibt sich, dass ein minimaler Quader, der den Körper einschließt, die Form einer Quadratischen Säule mit einer Höhe von 2 p {\displaystyle 2p} und einer Breite von r 2 {\displaystyle r{\sqrt {2}}} annimmt. Alle sechs Flächen der Säule berühren eine Kante des Trigondodekaeders. Bedingt durch die Tatsache, dass der zuvor genannte Hüllkörper kein Würfel ist, besitzt das Trigondodekaeder weder eine Umkugel noch eine Inkugel oder Kantenkugel.

| Größen eines Trigondodekaeders mit Kantenlänge a | Größen eines Trigondodekaeders mit Kantenlänge a |

|---|---|

| Volumen | V = r 12 a 3 ( 6 3 − r 2 + r 4 − 2 r 2 ) {\displaystyle V={\frac {r}{12}}a^{3}\left(6{\sqrt {3-r^{2}}}+r{\sqrt {4-2r^{2}}}\right)} |

| Oberflächeninhalt | A O = 3 a 2 3 {\displaystyle A_{O}=3a^{2}{\sqrt {3}}} |

| 1. Flächenwinkel ≈ 96,2° | cos α 1 = 1 3 ( 3 − 2 r 2 ) {\displaystyle \cos \,\alpha _{1}={\frac {1}{3}}\left(3-2r^{2}\right)} |

| 2. Flächenwinkel ≈ 121,74° | cos α 2 = 1 3 ( 1 − 2 r ) = 1 3 ( 4 q 2 − 1 ) {\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {1}{3}}\left(1-2r\right)={\frac {1}{3}}\left(4q^{2}-1\right)} |

| 3. Flächenwinkel ≈ 166,44° | cos α 3 = 2 3 ( 1 − p 2 ) {\displaystyle \cos \,\alpha _{3}={\frac {2}{3}}\left(1-p^{2}\right)} |

| Sphärizität ≈ 0,84133 | Ψ = 36 π V 2 3 A O {\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \,V^{2}}}{A_{O}}}} |

• Triakistetraeder, das von zwölf gleichschenkligen Dreiecken begrenzt wird.

Commons

: Trigondodekaeder

– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Trigondodekaeder. In: MathWorld (englisch).

• Eric W. Weisstein: Die Johnson-Körper. In: MathWorld (englisch).